שאלה קצרה – סדרה הנדסית של משולשים במעגל – בגרות קיץ 2023 מועד מיוחדסדרות 571 · שיעור 53

קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 1 · סעיף ד

שיעור 53: שאלה קצרה – סדרה הנדסית של משולשים במעגל – בגרות קיץ 2023 מועד מיוחד

פרק 9 – שאלות קצרות בסדרות (שאלה 1 בבגרות 571)

1נוסח השאלה

2סעיף ד (1) – זווית הראש

3סעיף ד (2) – האם השטחים סדרה הנדסית

📄 נוסח השאלה

ד. במעגל שמרכזו O בונים סדרה אין־סופית של משולשים שווי שוקיים. זוויות הראש של המשולשים הן זוויות מרכזיות במעגל, ושוקי המשולשים הם רדיוסים במעגל.

📄 נוסח השאלה · המשך

זווית הראש של המשולש הראשון (AOB) היא x. זווית הראש של המשולש השני (BOC) היא x2, כמתואר בסרטוט. ממשיכים לבנות משולשים שווי שוקיים כך שזווית הראש של כל משולש נוסף בסדרה קטנה פי 2 מזווית הראש של המשולש שלפניו.

נתון: סכום כל זוויות הראש של כל המשולשים בסדרה הוא 240.

(1) מצאו את x.

📄 נוסח השאלה · המשך

(2) האם שטחי כל המשולשים האלה הם סדרה הנדסית? נמקו את תשובתכם.

(בשאלון זווית הראש של המשולש הראשון מסומנת באות יוונית; כאן סימנו אותה באות x.)

סעיף ד (1) – זווית הראש

זוויות הראש: x , x2 , x4 , … – סדרה הנדסית אין־סופית עם a₁ = x ו־q = 12:

x1 − 12 = 240

📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדת

2x = 240

x = 120

✅ פתרון סופי: x = 120

📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדת

S = a₁1 − q

סעיף ד (2) – האם השטחים סדרה הנדסית

השוקיים של כל המשולשים הם רדיוסים, באורך r:

S₁ = 12r² sin120 = 12r² · √32

📐 שטח משולש

S₂ = 12r² sin60 = 12r² · √32

S₃ = 12r² sin30 = 12r² · 12

נבדוק את המנות בין איברים סמוכים:

S₂S₁ = 1

📐 שטח משולש

S = 12 · a · b · sin C

סעיף ד (2) – האם השטחים סדרה הנדסית · המשך

S₂S₁ = 1

S₃S₂ = 12√32 = 1√3

המנות לא שוות, ולכן השטחים אינם סדרה הנדסית.

📐 סדרה הנדסית

בסרטוט: המשולשים הראשונים במעגל, עם זוויות הראש 120, 60, 30, 15:

✅ פתרון סופי: לא – המנות 1 ו־1√3 שונות

📐 סדרה הנדסית

a_{n + 1}a_n = q קבוע

📌 סיכום התשובות

סעיף ד (1)

x = 120

סעיף ד (2)

לא

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא